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por - 28 septiembre, 2013 - 31 Comentarios - categorías: Curiosidades, Estadística, Lógica

Hola de nuevo, hace algunos meses que no estoy muy activo por aquí, pero últimamente me han sucedido varias preguntas de cuando estaba en Bachillerato… ¿Por qué hay algunas soluciones en matemáticas que no son lo que realmente creemos que son? Quiero decir, ¿Por qué (0cdotinfty=Indet)? ¿Por qué (dfrac{infty}{infty}=Indet)?… ¿Por qué 0! = 1?

Pues bien, en esta entrada vamos a intentar explicar por qué ‘cero factorial es igual a uno’. Partamos de la base de que un numero factorial es aquél numero que resulta de multiplicar el numero representado por todos los números anteriores exceptuando el 0, quiero decir: Se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. 

Por ejemplo: ( 7!=7times 6times 5times 4times 3times 2times 1 = 5040)

Entonces, planteamos la siguiente igualdad:

(4!=dfrac{5!}{5}=dfrac{120}{5} = 24)        =         ( 4!=4times 3times 2times 1 = 24)

Sigamos con el patrón:

(3!=dfrac{4!}{4}=dfrac{24}{4} = 6)       Aquí ya no compruebo que (4! = 24) 😛Y Camiseta Venta Maqueta Hombre Nuevo Fábrica Libre Caliente Top10 Superior Gratis Buy Diseño De Mockup to10 Polo Para 80OPnkw

Continuemos, ya queda menos para llegar a 0…

(2!=dfrac{3!} {3}=dfrac{6}{3} = 2)

Hmmm… Interesante. Sigamos…

(1!=dfrac{2!}{2}=dfrac{2}{2} = 1)

Por fin llegamos al 0… ¿Qué es lo que os esperáis?

(0!=dfrac{1!}{1}=dfrac{1}{1} = 1)

TACHAAAAN! LLEGAMOS DE UNA FORMA MUY SIMPLE A LA CONCLUSIÓN DE POR QUÉ (0! = 1)

Veo que eres un poco escéptico… Eso está bien, pero no en este caso, ya que si te lo demuestro de la siguiente forma, verás como lo entiendes:

 

Supongamos que tenemos 3 coches, uno azul, otro verde y uno amarillo, y que queremos colocarlos uno detrás de otro. ¿Cuántas formas posibles hay de hacerlo?

Muy bien, 3! = 6 formas de colocarlos.

Supón ahora que sólo tenemos 2 coches y queremos hacer lo mismo de antes. ¿Cuántas formas hay?

En efecto, 2! = 2.

¿Y si vendemos un coche y nos quedamos sólo con uno? El verde, por ejemplo ¿Cuántas formas hay de ordenar un solo coche?

Claro, 1! = 1. Sólo hay una forma porque el conjunto, en este caso el coche, sólo está formado por un elemento.

Ahora, el quid de la cuestión… ¿Y si tenemos 0 coches? ¿Cómo los ordenamos?

Sólo hay una forma de ordenarlo, porque como físicamente no hay ningún coche que ordenar… el conjunto está formado por 0 elementos que se pueden combinar de una única forma, es decir, si seguimos aplicando el método que hemos seguido, obtenemos que 0! = 1.

Espero haberte ayudado a solucionar esta pregunta que solemos hacernos los estudiantes de primero y segundo de ingeniería, tanto en cálculo como en estadística.

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Nota: Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es este humilde blog.

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  1. Shenecken el 28 septiembre, 2013 a las 16:09

    Hola!! Interesante demostración, sólo un apunte, al empezar con 5!/5 = 120/4… sería 120/5 = 24.
    Un saludo

  2. Blusas Meaneor Hombro Descubierto Gran 2018 Descuento Camiseta 8vmNn0w
  3. David Orden el 28 septiembre, 2013 a las 16:15

    @1 Shenecken: Corregido, ¡gracias! 🙂

  4. Davicico el 28 septiembre, 2013 a las 16:51

    Muy interesante !

    Salu2!!

  5. José Luis el 28 septiembre, 2013 a las 19:35

    El factorial (operación !) realmente es un caso concreto de productorio (http://es.wikipedia.org/wiki/Productorio) donde el rango inferior es 1 y el superior es el valor del que se quiere conocer el factorial. El productorio es similar al sumatorio que todos hemos visto alguna vez.

    Tanto el productorio como el sumatorio realizan una operación con el conjunto de valores incluidos en el rango especificado entre el inicio y el fin, evidentemente el productorio multiplica y el sumatorio realiza la suma.

    ¿Qué sucede cuando el rango sobre el que se realiza la operación es vacío? Pues que el resultado es el elemento neutro de la operación. El cero en el caso de la suma y el uno en el caso del producto.

    Es decir: 0! = multiplicador de 1 a 0 = (rango vacío entonces resultado igual a elemento neutro de la operación) = 1

    ¿A que sumatorio de 1 a 0 = 0 no le estraña a nadie? Pues lo mismo pasa con el productorio pero con el elemento neutro correspondiente a la operación que representa.

    Saludos

  6. Tendencia Última CalzadoIdeas Sandalias 2019La Verano En cuJ3TKlF1

    En realidad la definición más aceptada de factorial no es el producto de dicho entero con todos sus números enteros menores. Sino que es una definición recurrente para los naturales (con el cero incluido), donde el caso base es 0!=1 (si, por la cara :)) y la función recurrente es N!=N·(N-1)! . Tu forma de demostrarlo es haber tomado el caso base 4!=24 , despejar la formula recurrente e ir hacia atrás.

  7. Angel_ el 30 septiembre, 2013 a las 00:06

    Toda la vida pensando que 0! era 1 por la cara, como dice jose. Pues tampoco era tan difícil de explicar.
    Ahora resultará que e^x no se puede integrar porque existe una razón lógica para ello.

    Le estáis quitando a la ciencia lo bueno que tenía, que nunca hay una explicación correcta youtu.be/VK-b1CtIATw

  8. Leonardo javier Ortega el 1 octubre, 2013 a las 01:00 Blusas Meaneor Hombro Descubierto Gran 2018 Descuento Camiseta 8vmNn0w

    Mi comentario es acerca de la veracidad de la igualdad 0! = 1
    Se acepto que 0! = 1 sólo por definición. Ya que el conjunto vació esta incluido en cualquier conjunto de elementos. Por ejemplo, ¿ de cuántas formas poedo acomodar 0 autos en el garage ?, por supuesto de 0! = 1 formas diferentes.
    Saludos sinceros para todos. Hasta pronto

  9. jose el 1 octubre, 2013 a las 08:34

    es lo mismo de ¿por qué algo elevado a cero es uno? Como va a valer uno algo que multiplicas cero veces por si mismo ?, pues no tiene explicación en si mismo, es la deficion recrrente para todo numero entero y se toma como caso base a^0=1 con a en los enteros, y luego la formula recurrente.,,,,

    igual si alguien le sorprende que algo elevado a cero valga uno y que algo elevado a negativo sea el inverso de del positivo, se puede mirar como está a continuación, pero no justifica nada, solo aplicar la definición

    2^3=8

    2^2=8/2=4

    2^1=4/2=2

    2^0=2/2=1

    2^-1=1/2=1/2

    2^-2=(1/2)/2

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  10. José Ángel el 4 octubre, 2013 a las 20:07

    ¿La última igualdad no supone, o es equivalente a: 1! = 1 x 0! ?
    ¿Es decir, que supone 0! = 1 por definición?

    PD:
    ¿O sea que, gracias a que 0!=1, ya sabemos cómo ordenar conjuntos de 0 coches?
    No sé si le hemos quitao un peso de encima a mucha gente, ¿nó?…
    Gracias por la entrada, Jorge. Aunque no esté de acuerdo, me ha encantado leerla.

  11. El zombi de Schrödinger el 4 octubre, 2013 a las 23:32

    Deformación profesional, para mi != es distinto, porque es el símbolo que se usa en varios lenguajes de programación, así que 0!=1 es “cero distinto de uno” juas.

    Ahora todo cobra sentido. Una interesante demostración del típico concepto que te aprendes por que sí.

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  13. Jorge Moratilla el 5 octubre, 2013 a las 15:27

    En primer lugar, gracias a todos por los comentarios. He aprendido más leyendo los comentarios que en la propia elaboración de la entrada, ya que he tenido que buscar e investigar por diferentes sitios para dar con alguna cosa.

    En segundo lugar, quería responder a José Ángel, ya que lo que él dice tiene toda la lógica, no podemos ordenar 0 coches porque precisamente no tenemos nada que ordenar, pero en este caso, era una forma más “visual” de comprenderlo. La identidad que he usado {(n-1)! = n!/n} es válida para todos los números mayores o iguales a 1, pero ¿Por qué no seguir la sucesión hasta 0?
    Aunque pueda resultar una demostración convincente (así traté de que fuese), realmente no es así, ya que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío, y como tal, es el resultado de multiplicar entre sí ningún número, así que por convención se toma el 0! = 1, como muy bien dices, pero repito, que esta entrada no era ningún argumento sólido y que haya que seguir al pie de la letra, sólo es una entrada divulgativa para mis compañeros de carrera y para todo aquel que no sepa muy bien como va esto de las matemáticas (yo tampoco se muy bien como funciona esto… 😛 )

    Espero haber solucionado tu cuestión.

    Muchas gracias a todos!

  14. José Ángel. el 6 octubre, 2013 a las 10:11

    Muchas gracias por la respuesta, Jorge.
    No deja de sorprenderme lo interesante que puede ser poner en común distintas opiniones, conocimientos o puntos de vista, sobre un mismo tema, por simple que sea.

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  16. Alberto Castro Santiago el 12 diciembre, 2013 a las 22:53

    Sobre este tema, siempre he tenido la idea de que la mejor forma de comprenderlo, estaría en considerar la definición de otra forma. Lo mismo digo en cuanto a la definición de la potencia 0.
    Si en la definición de potencia, se dijera que es el resultado de multiplicar (o dividir si es negativo) la unidad, por tantas veces la base como indica el exponente ya queda definido el x^0=1. Lo mismo para la factorial, es el resultado de multiplicar la unidad por tantos términos de la serie de números naturales como se indica.

  17. Jose el 28 mayo, 2014 a las 10:44

    karol no hay demostracion, es por definicion, el factorial se define como una funcion recurrente:
    caso base: 0!=1
    formula recurrente: (n)! = n·(n-1)!

    lo que muestra este post es aplicar la formula recurrente hacia atras, para entender que si tiene sentido que el caso base sea 0!=1

    la confusion viene de que nos lo han enseñan mal en la escuela, y en muchas universidaades como el producto de un numero por todos los que tiene por abajo ejemplo 5!=5·4·3·2·1, y esa es una definicion muy mala, con la verdadera definicion de 5! seria
    5!=5·4!
    =5·4·3!
    =5·4·3·2!
    =5·4·3·2·1!
    =5·4·3·2·1·0!, ojo caso base a la vista!!
    = 5·4·3·2·1·1 = 120 (¿date cuenta que se ha multiplado dos veces por uno!)

  18. Tu gfa el 6 octubre, 2015 a las 17:14

    tu teoria es falsa

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  20. Exodus el 15 noviembre, 2015 a las 13:14

    Tu gfa, me encantas. Dices tu teoria es falsa y a la mierda los argumentos. Él ya ha dicho que se toma por definición y que él tan solo lo explica así para ayudarte a comprenderlo

  21. fulano el 16 noviembre, 2015 a las 01:37

    Perdonen algunos de ustedes. El “0” no es ningún número, es un símbolo como el que representa a infinito y como tal símbolo no esta incluido en los naturales ni en los reales ni en los racionales
    De ahí, el por qué de algunas indeterminaciones.
    0! sí es un número porque es un “número combinatorio” que se corresponde con el 1 de los naturales de igual modo que el 4! se corresponde biunívocamente con el 24
    En cualquier caso no deja de ser una convención que expresa la existencia del producto vacío.
    Gracias

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  22. cablop el 4 febrero, 2016 a las 23:30

    La demostración no me parece correcta ni verdadera… sin embargo, me parece una buena estrategia de memorización.

  23. Juan el 14 marzo, 2017 a las 12:46

    OK, el factorial de 0 es 1. Sin embargo, la “demostración” que comentas no demuestra nada, puesto que estás dando por sentado que el patrón ha de reproducirse siempre… y eso no es muy científico. Y que pasa con el factorial de -1? también sigue el patrón?

    Un saludo

  24. Felino el 17 mayo, 2017 a las 01:29

    El factorial de -1 no existe porque Γ(n+1) = n!, entonces la solución de la integral impropia para Γ(0) = [e^(-x)/x] = -inf, aparte se demuestra que Γ(1)= 0! = [-e^(-x)] = 1

  25. Fidel el 22 septiembre, 2018 a las 01:23

    Lo siento, Jorge, no me convence para nada tu “demostración” con el ejemplo de la ordenación de coches. ¿De cuántas formas se puede ordenar la nada? De ninguna… No, esa no es la demostración de que el factorial de cero es uno.

    El factorial de cero es uno por simples matemáticas, no por convenio ni por ordenar coches…
    Pensémoslo así: el factorial de 5, o sea 5!, ¿cuánto es? Pues 5x4x3x2x1, es decir, cinco por factorial de cuatro: 5! = 5 x !4
    Lo mismo para el factorial de cuatro: !4 = 4 x !3, y así sucesivamente.
    Resulta que decir !4 = 4 x !3 es lo miso que decir: !4 / 4 = !3, ¿cierto?
    De igual forma, !2 = !3 / 3, y !1 = !2 / 2. Es decir, se cumple: n! = (n+1)! / (n+1)
    Por tanto no es de extrañar que 0! = !1 / 1 = 1.
    ¡Saludos!

  26. Pablo el 16 noviembre, 2018 a las 13:40

    No se entiende, porque, esta echoben mac y aqui se desconfigura

  27. javier2112 el 20 noviembre, 2018 a las 09:58

    La explicación de Fidel es la que me enseñaron en la Escuela de Ingeniería Informática, pero creo que se puede explicar un poco más claro. Veamos la siguiente secuencia, en la que aún no se conoce el valor de 0!
    5!/4! = 5·4·3·2·1·0! / 4·3·2·1·0! = 5
    4!/3! = 4
    3!/2! = 3
    2!/1! = 2

    Entonces para el caso base se debe dar que:
    1!/0! = 1

    De ahí se deduce que 1! = 0!, por tanto 0! = 1

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Sobre el autor

@ordend
Soy profesor del área de Matemática Aplicada en la Universidad de Alcalá. Me interesa aprender y ayudar a aprender. Me gusta conectar las matemáticas con otros campos. Cuento cosas en Twitter como @ordend y también en Google +. Tengo una página profesional con más información.

Sobre este blog

Este blog trata sobre matemáticas, miradas desde distintos puntos de vista. Pretende ser cooperativo, porque seguro que hay algo de lo que sabes más que otros y, aunque no lo hayas pensado nunca, tiene matemáticas detrás. Queremos pasarlo bien jugando a pensar y ayudarnos entre todos a aprender cosas. Si quieres aportar algo, puedes escribirnos a [email protected] También puedes seguir a @cifrasyteclas en Twitter o visitarnos en Facebook.
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